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Un punto fermo: l'appendice

20 Mar 2014 in altramatematica | questo post è lungo 1668 parole

O di come l'apprendista mostri al Vero Matematico un errore nella dimostrazione di un teorema; di come una apparente complicazione si riveli una semplificazione; del dialogo impossibile tra due universi paralleli.

"Senti, stavo riguardando i teoremi sul gioco del quindici..."

"Sì? C'è qualcosa di non chiaro?"

"Eh, sì, il teorema dello spostamento verticale."

"Dimmi, cosa non hai capito?"

"Tu dici che quando spostiamo il buco, modifichiamo l'invariante di 3, in più o in meno."

"Esatto, spostando il buco si cambia la posizione di una tessera rispetto ad altre tre, e quindi l'invariante viene modificato di tre unità."

"Ecco, sì, però stavo pensando a questo esempio:"

1 2 3 5 4 6 7 .

"Cos'ha che non va?"

"Dimmi se ho capito bene: ora c'è solo una coppia di numeri che non sono nell'ordine naturale, vero?"

"Certo, la coppia (5,4)."

"Ok. Allora, se sposto il buco verso l'alto, il 5 scende di una posizione e ottengo questa configurazione:"

1 2 3 . 4 6 7 5

"Vero, e 5 ha cambiato posizione rispetto alle tre tessere successive, cioè 4, 6 e 7."

"Adesso però le coppie che non sono nell'ordine naturale sono (6,5) e (7,5): sono solo due."

"..."

"Ho sbagliato?"

"..."

"Cosa succede? Stai bene?"

"..."

"Non ho sbagliato? HAI SBAGLIATO TU?"

"Argh."

"Eh eh eh."

"Ma non c'è niente da ridere!"

"Ok, scusa, eh eh, no scusa, davvero."

"Divertente, eh?"

"Un pochino. Vedere un Vero Matematico in difficoltà è per me una situazione nuova, vorrei godermela a pieno."

"Uff. Fammi pensare."

"Ok."

"..."

"Cosa?"

"Ma devi proprio stare lì a guardare?"

"Come dicevo, mi sto divertendo abbastanza..."

"Guarda che non so quanto tempo ci vorrà non so se riuscirò a rimediare non voglio nessuno che mi guardi via via VIA DI QUA CHE..."

"Va bene, va bene, ora vado."

[Passa un po' di tempo. Non diciamo quanto per non offendere ulteriormente la dignità del Vero Matematico]

"Ce l'ho fatta!"

"Hai rimediato all'errore?"

"Sì, ho capito come funziona adesso."

"Oh, bene. Me lo racconti?"

"Certo. Dobbiamo modificare la definizione dell'invariante, quella di prima non andava bene."

"Me ne sono accorto... Come sarebbe questa nuova definizione?"

"Dobbiamo, come prima, calcolare il numero di coppie che non sono nell'ordine naturale, poi dobbiamo aggiungere a questo valore il numero della riga in cui si trova il buco."

"Ah. Partiamo da 0 o da 1?"

"Non importa, basta mettersi d'accordo. Diciamo che numeriamo le righe da 1 a 4, dall'alto verso il basso, va bene?"

"Ok. Basta così?"

"No, alla fine del numero che abbiamo ottenuto ci interessa la parità."

"Nel senso che dobbiamo dire solo se è pari o dispari?"

"Esattamente. Supponiamo che l'esempio che hai fatto tu fosse relativo alle prime due righe. Te lo riscrivo:"

1 2 3 5 4 6 7 .

"Provo a fare il calcolo: c'è solo una coppia di numeri che non sono nell'ordine naturale, e cioè (5,4). E il buco si trova nella riga numero 2. Quindi 1 più 2 fa 3."

"E 3 è un numero dispari: questo è l'invariante. Il teorema dello spostamento verticale, nella versione corretta, dice che se spostiamo il buco allora la parità del numero che si ottiene sommando il numero di coppie che non sono nell'ordine corretto con il numero di riga in cui si trova il buco non cambia."

"Aspetta che provo, che non ho mica capito bene."

"Se sposti il buco in alto, facendo scendere il 5, ottieni questa configurazione:"

1 2 3 . 4 6 7 5

"Provo a rifare i conti: le coppie che non sono nell'ordine naturale ora sono due: (6,5) e (7,5), mentre il buco si trova ora nella riga 1. In effetti 2 più 1 fa ancora 3."

"Non è importante che si ottenga sempre 3, come è successo ora: ci interessa il fatto che il risultato sia ancora dispari."

"Va bene. E mi assicuri che questo fatto sia sempre vero, per qualunque tipo di movimento? Non è che hai fatto un altro errore, eh?"

"Ti diverti a infierire, eh?"

"Un pochino..."

"Comunque sia, ora provo a convincerti, tu mi dirai se la spiegazione ti convince."

"Va bene, vai."

"Come abbiamo già detto, spostare il buco di una posizione in verticale significa modificare la posizione di una tessera rispetto soltanto ad altre tre."

"Mi sembrava giusto anche prima, ma poi ho trovato quell'esempio in cui questo ragionamento non funzionava."

"In realtà il ragionamento fino a qui funziona, sono le conclusioni a essere sbagliate. Se sposti il buco verso l'alto, sposti una tessera verso il basso: si modifica la posizione di quella tessera rispetto alle tre successive, vero?"

"Vero, ne supero tre. È anche vero che se sposto una tessera verso l'alto modico la posizione di quella tessera rispetto alle tre precedenti."

"Molto bene. Ora, per fissare le idee, immaginiamo di spostare il buco verso l'alto, cioè una tessera verso il basso. Quello che succederà spostando il buco verso il basso sarà analogo."

"Bene, andiamo avanti."

"Ora, se indichiamo con A la tessera che spostiamo verso il basso, con B, C e D le tre tessere successive, e con X il buco, passeremo da una configurazione del tipo ...ABCDX... a questa: ...XBCDA..."

"Fammi capire... Potremmo avere uno schema di questo tipo:"

A B C D . E F G

"Che diventa:"

. B C D A E F G

"Ok, ci sono, le tessere che ho chiamato E, F e G non contano, rispetto a quelle non è cambiato niente. E se A non si trova nella prima colonna?"

"Prova a vedere che succede."

"Vediamo, se ho uno schema fatto così cosa cambia?"

Z A B C D . E F

"Succede che ottieni questo:"

Z . B C D A E F

"Ho capito, le tessere Z, E e F sono inutili, cambia solo l'ordinamento tra A, B, C, D e il buco. Succede lo stesso anche se A si trova nelle altre due colonne, suppongo."

"Esatto, se vuoi puoi fare i disegni anche per quei due casi, ma sono perfettamente analoghi. Comunque puoi verificarlo, non troverai altri errori..."

"Eh eh."

"Se vuoi vado avanti, quando ha finito di ridere."

"Ok, scusa, vai pure."

"Allora, vediamo quello che può accadere. L'errore nella prima dimostrazione stava nel fatto che avevo immaginato che automaticamente il numero di coppie non nell'ordine naturale cambiasse di 3, ma non è così. Se B, C e D sono tutte maggiori di A, allora nello spostamento effettivamente il numero di coppie non nell'ordine naturale cambia di 3, numero dispari."

"E fin qua siamo d'accordo."

"Dato che il numero di riga del buco è cambiato di 1, dispari pure lui, la parità del nostro nuovo invariante non cambia"

"Ho capito. Non importa se il buco va verso l'alto o verso il basso, sia 3 + 1 che 3 - 1 sono numeri pari, e la parità non cambia."

"Se sposti il buco nell'altra direzione, o se B, C e D sono tutte minori di A, avresti un -3 al posto di un +3, e non cambierebbe niente comunque."

"Giusto anche questo. È chiaro, andiamo avanti."

"Se solo una delle tre tessere è maggiore di A, succede invece qualcosa di diverso."

"Diciamo che sia B maggiore di A?"

"Per esempio, sì. Nella configurazione ...ABCDX... abbiamo due coppie che non sono nell'ordine naturale, e cioè (A,C) e (A,D)."

"Vero. Quando spostiamo il buco otteniamo ...XBCDA..., in cui rimane solo la coppia (B,A)"

"Quindi il numero di coppie con valori sballati..."

"I Veri Matematici le chiamano inversioni."

"Ok, il numero di inversioni cambia di una unità."

"Potrebbe essere un cambiamento in positivo o in negativo, ma comunque di un valore dispari..."

"E se a questo aggiungo un cambiamento di una unità nel numero di riga in cui si trova il buco, ho di nuovo una modifica che non fa cambiare la parità del numero di inversioni sommato al numero di riga. Bello."

"Vero. Supponiamo ora che due delle tre tessere siamo maggiori di A."

"Diciamo B e C?"

"Va bene. Prima del movimento in ...ABCDX... hai una sola inversione, (A,D)."

"Dopo il movimento ho ...XBCDA..., in cui le inversioni sono (B,A) e (C,A). Ancora una volta si modificano di un valore 1, e se a questo sommo il numero di riga del buco ottengo nuovamente un numero pari."

"Proprio così, e se sei convinto possiamo dire che il teorema è finalmente dimostrato."

"Sì, mi pare convincente, anche se complica la dimostrazione un po'."

"In realtà, se ci pensi bene, grazie a questo teorema puoi fare a meno del teorema del ritorno."

"Uhm, perché?"

"Perché ora non ti interessa più il fatto che il buco ritorni alla posizione iniziale. Mi spiego meglio: per risolvere il problema proposto da Loyd il buco deve tornare al suo posto, ma quello che ci fa capire questo nuovo invariante è che, qualunque movimento tu faccia, la parità di inversioni più numero di riga del buco non cambia, e quindi esistono solo due tipi di configurazioni, quelle pari e quelle dispari. È come se ci fossero due universi, e con le tue mosse tu non potrai mai passare da un universo all'altro. La posizione proposta dal quesito di Loyd, con una sola inversione, e quella con tutti i numeri in ordine, appartengono a due universi diversi. Nessuna mossa potrà farci passare da uno all'altro"

"Hai ragione, così mi pare anche più bello."

"Ti aggiungo un'ultima considerazione: per posizionare le quindici tessere (più il buco) del gioco del Quindici hai 16! possibili modi per farlo"

"Sono le permutazioni di 16 elementi, vero?"

"Esatto. Sono 20.922.789.888.000 possibilità."

"Wow."

"Metà di queste sono risolvibili, metà sono fregature come quella proposta da Loyd."

"Quindi se smonto il mio gioco del Quindici devo poi stare attento a rimontarlo bene..."

"Esatto. Perché la sfiga ci vede benissimo..."

"Anche nel trovare gli errori?"

"..."

Hai appena letto l'appendice di Un punto fermo di Roberto Zanasi. Scopri il mondo di Altramatematica, un modo sagace e pop di parlare di numeri.

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